જો $P(\frac{\pi}{6})$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ પરનું બિંદુ હોય,$S$ અને $S^{\prime}$ તેના નાભિઓ હોય,અને $SP + S^{\prime}P - 2|SP - S^{\prime}P| = 0$ હોય,તો ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધો.

ધારો કે અતિવલય $x^2 - 2y^2 - 2\sqrt{2}x - 4\sqrt{2}y - 6 = 0$ છે. ધારો કે $A$ એ અતિવલયનું એક શિરોબિંદુ છે. $A$ ની નજીકનું નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ $B$ લો. જો $C$ એ $A$ ની સૌથી નજીકની અતિવલયની નાભિ હોય,તો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે $P$ એ અતિવલય $x^2 - y^2 = 4$ પરનું એક બિંદુ છે,જે $(0, -1)$ થી ન્યૂનતમ અંતરે છે,તો $x$-અક્ષથી $P$ નું અંતર કેટલું થાય?

$bxt - ayt = ab$ અને $bx + ay = abt$ રેખાઓના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

અતિવલય $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}=1$ માટે નાભિઓ અને શિરોબિંદુઓના યામ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

એક અતિવલય (hyperbola) જેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $\sqrt{2}$ છે,તેના નાભિ (foci) ઉપવલય $3x^{2} + 4y^{2} = 12$ ના નાભિ સમાન છે. તો આ અતિવલય નીચેનામાંથી કયા બિંદુમાંથી પસાર થતો નથી?