यदि $a, b, c$ कोई भी तीन समतलीय इकाई सदिश हैं,तो

मूल बिंदु $O$ से तीन रेखाएँ खींची जाती हैं जिनके दिक्-अनुपात $(1, -1, 1)$, $(2, -3, 0)$ और $(1, 0, 3)$ के समानुपाती हैं। ये तीन रेखाएँ

मान लीजिए $a = i - j$,$b = j - k$,$c = k - i$ है। यदि $\hat{d}$ एक इकाई सदिश है जैसे कि $a \cdot \hat{d} = 0$ और $[b, c, \hat{d}] = 0$,तो $\hat{d}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\bar{a}, \bar{b}$ और $\bar{c}$ कोई भी तीन शून्येतर सदिश हैं,तो $(\bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}) \cdot[(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})]=$

$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ असमतलीय सदिश हैं,जहाँ $\overrightarrow{P} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{Q} = 4\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}$ और $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{a} + \alpha\overrightarrow{b} + \beta\overrightarrow{c}$ रैखिक रूप से आश्रित सदिश हैं। तो $\alpha$ के संभावित मानों की संख्या क्या है?

यदि एक चतुष्फलक,जिसके शीर्ष $A(1, 2, 3)$,$B(-3, -1, 1)$,$C(2, 1, 3)$ और $D(-1, 2, x)$ हैं,का आयतन $\frac{11}{6}$ घन इकाई है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।