જો $a = -3i + 7j + 5k$,$b = -3i + 7j - 3k$,અને $c = 7i - 5j - 3k$ એ સમાંતરફલક (parallelepiped) ની ત્રણ સંગામી ધાર હોય,તો તેનું ઘનફળ કેટલું થાય?

જો ત્રણ સદિશો $2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,$\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ અને $3\hat{i}+\lambda\hat{j}+5\hat{k}$ સમતલીય હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો ચાર બિંદુઓ $A(6,2,4)$,$B(1,3,5)$,$C(1,-2,3)$ અને $D(6, k, 2)$ સમતલીય હોય,તો $k=$

વિધાન $1$: જો બિંદુઓ $(1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, z)$ અને $(1, 1, 1)$ સમતલીય હોય,તો $z = 2$.
વિધાન $2$: જો $4$ બિંદુઓ $P, Q, R$ અને $S$ સમતલીય હોય,તો ચતુષ્ફલક $PQRS$ નું ઘનફળ $0$ થાય.

ધારો કે $\vec{\lambda} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ અને $\vec{\lambda} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2(x + y + z)$ (જ્યાં $x + y + z \neq 0$),તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$ શું થાય?

ધારો કે $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$, $\overrightarrow{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}=\lambda \hat{i}+\hat{j}+(2 \lambda-1) \hat{k}$. જો $\overrightarrow{c}$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ ને સમાવતા સમતલને સમાંતર હોય, તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.