यदि x=t-sin t, y=1-cos t और t=K, K0 पर frac{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $x = t - \sin t$ और $y = 1 - \cos t$. सबसे पहले, $t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें: $\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$ और $\frac{dy}{dt} = \si

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$\frac{2}{\pi-2}$

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(C) दिया गया है $x = t - \sin t$ और $y = 1 - \cos t$. सबसे पहले, $t$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें: $\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$ और $\frac{dy}{dt} = \sin t$. अतः, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{2 \sin(t/2) \cos(t/2)}{2 \sin^2(t/2)} = \cot(t/2)$. अब, द्वितीय अवकलज ज्ञात करें: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\cot(t/2)) = \frac{d}{dt}(\cot(t/2)) \cdot \frac{dt}{dx} = -\frac{1}{2} \csc^2(t/2) \cdot \frac{1}{1 - \cos t} = -\frac{1}{2} \csc^2(t/2) \cdot \frac{1}{2 \sin^2(t/2)} = -\frac{1}{4} \csc^4(t/2)$. दिया गया है कि $t=K$ पर $\frac{d^2y}{dx^2} = -1$: $-\frac{1}{4} \csc^4(K/2) = -1 \implies \csc^4(K/2) = 4 \implies \csc^2(K/2) = 2 \implies \sin^2(K/2) = 1/2$. चूंकि $K>0$, $\sin(K/2) = 1/\sqrt{2}$, इसलिए $K/2 = \pi/4$, जिसका अर्थ है $K = \pi/2$. अब, सीमा का मान ज्ञात करें: $\lim_{t \rightarrow K} \frac{y}{x} = \lim_{t \rightarrow \pi/2} \frac{1 - \cos t}{t - \sin t} = \frac{1 - \cos(\pi/2)}{\pi/2 - \sin(\pi/2)} = \frac{1 - 0}{\pi/2 - 1} = \frac{1}{(\pi - 2)/2} = \frac{2}{\pi - 2}$.

यदि $x=t-\sin t, y=1-\cos t$ और $t=K, K>0$ पर $\frac{d^2 y}{d x^2}=-1$ है, तो $\lim_{t \rightarrow K} \frac{y}{x}=$

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यदि $x = a \cos \theta$ और $y = a \sin \theta$ है,तो $\frac{d^2 y}{d x^2} =$ . . . . . . . (जहाँ $a \neq 0$ और $\theta \neq k \pi, k \in Z$)

यदि $\tan u=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ और $\cos v=4 x^{3}-3 x$ है,तो $\frac{d u}{d v}=$

यदि $x = at^2$ और $y = 2at$ है,तो $\frac{dy}{dx} =$ . . . . . . ,जहाँ $t \neq 0$.

यदि $x=3\left[\sin t-\log \left(\cot \frac{t}{2}\right)\right]$ और $y=6\left[\cos t+\log \left(\tan \frac{t}{2}\right)\right]$ है,तो $\frac{dy}{dx}=$

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