यदि int sqrt{frac{x}{a^3-x^3}} , dx = g(x) + | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3-x^3}} \, dx$. इसे हल करने के लिए, हम समाकल्य को पुनः लिखते हैं: $I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3(1 - (x/a)^{3})}} \,

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$\frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}\right)$

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(C) माना $I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3-x^3}} \, dx$. इसे हल करने के लिए, हम समाकल्य को पुनः लिखते हैं: $I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3(1 - (x/a)^{3})}} \, dx = \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a^3} \sqrt{1 - (x^{3/2}/a^{3/2})^2}} \, dx$. माना $u = \left(\frac{x}{a}\right)^{3/2} = \sqrt{\frac{x^3}{a^3}}$. तब $du = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{x}{a^3}} \, dx$, जिसका अर्थ है कि $\sqrt{\frac{x}{a^3}} \, dx = \frac{2}{3} \, du$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{2}{3} \, du = \frac{2}{3} \sin^{-1}(u) + c$. $u = \sqrt{\frac{x^3}{a^3}}$ वापस रखने पर, हमें $I = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}\right) + c$ प्राप्त होता है। इसकी तुलना $g(x) + c$ से करने पर, $g(x) = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}\right)$ प्राप्त होता है।

List-$I$	List-$II$
$(1)$ प्लांक नियतांक	$(i)$ $[ML^{-1} T^{-2}]$
$(2)$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक	(ii) $[ML^{-1} T^{-1}]$
$(3)$ आयतन प्रत्यास्थता गुणांक (Bulk modulus)	(iii) $[ML^2 T^{-1}]$
$(4)$ श्यानता गुणांक	(iv) $[M^{-1} L^3 T^{-2}]$

यदि $\int \sqrt{\frac{x}{a^3-x^3}} \, dx = g(x) + c$ है, तो $g(x)$ का मान क्या होगा?

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