यदि $f: R \to R$ है,तो $f(x) = |x|$ है

मान लीजिए $A = \{x_1, x_2, x_3, \dots, x_7\}$ और $B = \{y_1, y_2, y_3\}$ दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः सात और तीन भिन्न अवयव हैं। तो $f: A \to B$ ऐसे आच्छादक (onto) फलनों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए,यदि $A$ में ऐसे ठीक तीन अवयव $x$ मौजूद हैं जिनके लिए $f(x) = y_2$ है।

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ द्वारा परिभाषित फलन $f:R \rightarrow R$ एकैकी (one-one) है।
कथन $II$: $f(x) = \frac{x^{2}+4x-30}{x^{2}-8x+18}$ द्वारा परिभाषित फलन $f:R \rightarrow R$ बहु-एक (many-one) है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

मान लीजिए $f : R \to R$,जहाँ $f(x) = \frac{ax^2 + ax + b}{ax + b}$ है,तो:

मान लीजिए $E = \{ 1, 2, 3, 4 \} $ और $F = \{ 1, 2 \} $ है। तो $E$ से $F$ तक आच्छादक (onto) फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि $f : R \rightarrow R$ द्वारा प्रदत्त फलन $f(x) = x^{3}$ एकैकी (injective) है।