यदि $y'' - 3y' + 2y = 0$ जहाँ $y(0) = 1$ और $y'(0) = 0$ है, तो $x = \log_{e} 2$ पर $y$ का मान क्या होगा?

$x \frac{dy}{dx} - y = x^4 - 3x$ का समाकलन गुणक (Integrating factor) है

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$A$. $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating factor) $e^x$ है।
$R$. $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ का समाकलन गुणक $e^{\int P(x) dx}$ है।
तो, निम्नलिखित में से सही कथन है:

यदि $\int f(x) \, dx = x e^{-\log |x|} + f(x)$ है,तो $f(x)$ क्या है?

यदि $x=x(t)$ अवकल समीकरण $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$ का हल है और प्रारंभिक शर्त $x(0) = 2$ है,तो $x(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\sin(2x^2) \ln(\tan x^2) dy + (4xy - 4\sqrt{2}x \sin(x^2 - \frac{\pi}{4})) dx = 0$ का हल वक्र है,जहाँ $0 < x < \sqrt{\frac{\pi}{2}}$,जो बिंदु $(\sqrt{\frac{\pi}{6}}, 1)$ से होकर गुजरता है। तो $|y(\sqrt{\frac{\pi}{3}})|$ का मान $.....$ है।