यदि u = sqrt {{a^2}{{cos }^2}theta + {b^2}{{s | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $u = \sqrt {{a^2}{{\cos }^2}	heta + {b^2}{{\sin }^2}	heta } + \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}	heta + {b^2}{{\cos }^2}	heta } $.दोनों पक्षो

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${(a - b)^2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $u = \sqrt {{a^2}{{\cos }^2}	heta + {b^2}{{\sin }^2}	heta } + \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}	heta + {b^2}{{\cos }^2}	heta } $.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:${u^2} = ({a^2}{{\cos }^2}	heta + {b^2}{{\sin }^2}	heta ) + ({a^2}{{\sin }^2}	heta + {b^2}{{\cos }^2}	heta ) + 2\sqrt {({a^2}{{\cos }^2}	heta + {b^2}{{\sin }^2}	heta )({a^2}{{\sin }^2}	heta + {b^2}{{\cos }^2}	heta )} $${u^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {({a^2}{{\cos }^2}	heta + {b^2}{{\sin }^2}	heta )({a^2}{{\sin }^2}	heta + {b^2}{{\cos }^2}	heta )} $माना $t = {a^2}{{\cos }^2}	heta + {b^2}{{\sin }^2}	heta $. तब ${a^2}{{\sin }^2}	heta + {b^2}{{\cos }^2}	heta = {a^2} + {b^2} - t$.अतः,${u^2} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {t({a^2} + {b^2} - t)} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt { - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t} $.माना $f(t) = - {t^2} + ({a^2} + {b^2})t$. $f(t)$ का अधिकतम मान $t = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}$ पर प्राप्त होता है,जो $f\left( \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} ight) = \frac{{{({a^2} + {b^2})^2}}}{4}$ है।इस प्रकार,${({u^2})_{\max }} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {\frac{{{({a^2} + {b^2})^2}}}{4}} = {a^2} + {b^2} + ({a^2} + {b^2}) = 2({a^2} + {b^2})$.$f(t)$ का न्यूनतम मान $t$ की सीमाओं पर प्राप्त होता है,अर्थात $t = {a^2}$ या $t = {b^2}$.$t = {a^2}$ पर,$f({a^2}) = - {a^4} + ({a^2} + {b^2}){a^2} = {a^2}{b^2}$.इस प्रकार,${({u^2})_{\min }} = {a^2} + {b^2} + 2\sqrt {{a^2}{b^2}} = {a^2} + {b^2} + 2ab = {(a + b)^2}$.अंतर ${({u^2})_{\max }} - {({u^2})_{\min }} = 2{a^2} + 2{b^2} - ({a^2} + {b^2} + 2ab) = {a^2} + {b^2} - 2ab = {(a - b)^2}$.

यदि $u = \sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta } + \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}\theta + {b^2}{{\cos }^2}\theta } $ है,तो ${u^2}$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर क्या है?

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