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Question

(C) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा $(LHL)$,दायां सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(0)$ बराबर होने चाहिए। $f(0) = a$. $LHL$: $\lim_{x

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$1$

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(C) फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,बायां सीमा $(LHL)$,दायां सीमा $(RHL)$ और फलन का मान $f(0)$ बराबर होने चाहिए। $f(0) = a$. $LHL$: $\lim_{x 	o 0^-} (1+\sin x)^{\operatorname{cosec} x} = \lim_{x 	o 0^-} (1+\sin x)^{1/\sin x} = e^1 = e$. चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $a = e$. $RHL$: $\lim_{x 	o 0^+} \frac{e^{2/x}+e^{3/x}}{a e^{2/x}+b e^{3/x}}$. अंश और हर को $e^{3/x}$ से विभाजित करने पर: $\lim_{x 	o 0^+} \frac{e^{-1/x}+1}{a e^{-1/x}+b} = \frac{0+1}{a(0)+b} = \frac{1}{b}$. $RHL$ को $f(0)$ के बराबर रखने पर: $\frac{1}{b} = a$. चूंकि $a = e$,हमारे पास $\frac{1}{b} = e$ है,जिसका अर्थ है $b = \frac{1}{e} = e^{-1}$. अतः,$ab = e 	imes e^{-1} = 1$.

यदि एक वास्तविक मान वाला फलन $f(x) = \begin{cases} (1+\sin x)^{\operatorname{cosec} x}, & -\pi/2 < x < 0 \\ a, & x=0 \\ \frac{e^{2/x}+e^{3/x}}{a e^{2/x}+b e^{3/x}}, & 0 < x < \pi/2 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $ab=$

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फलन $f(x) = \sin |x|$ है

$f$ के सभी असातत्य (discontinuity) के बिंदु ज्ञात कीजिए,जहाँ $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\sqrt{2} \sin x}{\pi-4x} & \text{यदि } x \neq \frac{\pi}{4} \\ a & \text{यदि } x = \frac{\pi}{4} \end{cases}$ बिंदु $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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