જો નિયામિકાઓ (directrices) વચ્ચેનું અંતર નાભિઓ (foci) વચ્ચેના અંતર કરતાં ત્રણ ગણું હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

ઉપવલય $x^2+16y^2=16$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો જે $X$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ અને રેખા $y = mx + c$ વાસ્તવિક બિંદુઓમાં છેદે તે માટેની શરત કઈ છે?

જો $\beta$ એ ઉપવલય $x^2 + 3y^2 = 9$ ના બિંદુઓ $(3\cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ અને $(-3\sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ આગળના અભિલંબ વચ્ચેનો એક ખૂણો હોય,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$,તો $\frac{2 \cot \beta}{\sin 2\theta}$ ની કિંમત શોધો.

ઉપવલય $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો:

ધારો કે બે ઉપવલયોના સમીકરણો $E_1: \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ અને $E_2: \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $\frac{1}{2}$ હોય,તો ઉપવલય $E_2$ ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ કેટલી થાય?