જો સમીકરણ ${x^2} + px + q = 0$ નું એક બીજ $2 + \sqrt{3}$ હોય,તો $p$ અને $q$ ની કિંમતો શોધો.

આપેલા બે સમીકરણો ઉકેલો અને આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો.
$I.$ $2x^2 + 13x - 7 = 0$
$II.$ $2y^2 - 5y + 3 = 0$

જો $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ હોય અને $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના બીજ $\alpha - k, \beta - k$ હોય,તો $\frac{B^2 - 4AC}{b^2 - 4ac}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $a \ne b, c \ne 0$. જો સમીકરણો $x^2 + ax + bc = 0$ અને $x^2 + bx + ac = 0$ નું એક બીજ સામાન્ય હોય,તો:
વિધાન $-1$: અન્ય બીજોનું સમીકરણ $x^2 + cx + ab = 0$ છે.
વિધાન $-2$: $a + b + c = 0$.

જો $P(x) = ax^2 + bx + c$ અને $Q(x) = -ax^2 + dx + c$ જ્યાં $ac \neq 0$ હોય,તો $P(x) \cdot Q(x) = 0$ ને ઓછામાં ઓછા કેટલા વાસ્તવિક બીજ હોય?

$I. x^{2}-20 x+91=0$
$II. y^{2}-32 y+247=0$