यदि वक्र 2x = y^2 और 2xy = K लंबवत प्रतिच्छेद | vedclass

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Question

(D) दिए गए वक्र $2x = y^2$ $(i)$ और $2xy = K$ $(ii)$ हैं।$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$2x = y^2$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$y^2 \cdot y = K

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$8$

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(D) दिए गए वक्र $2x = y^2$ $(i)$ और $2xy = K$ $(ii)$ हैं।$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$2x = y^2$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$y^2 \cdot y = K \Rightarrow y^3 = K \Rightarrow y = K^{1/3}$.अतः $2x = (K^{1/3})^2 = K^{2/3} \Rightarrow x = \frac{K^{2/3}}{2}$.प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{K^{2/3}}{2}, K^{1/3})$ है।$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$.प्रतिच्छेदन बिंदु पर ढाल $m_1 = \frac{1}{K^{1/3}}$.$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(y + x \frac{dy}{dx}) = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.प्रतिच्छेदन बिंदु पर ढाल $m_2 = -\frac{K^{1/3}}{K^{2/3}/2} = -2K^{-1/3}$.चूंकि वक्र लंबवत प्रतिच्छेद करते हैं,$m_1 \cdot m_2 = -1$.$(\frac{1}{K^{1/3}}) \cdot (-2K^{-1/3}) = -1$.$-2K^{-2/3} = -1 \Rightarrow K^{-2/3} = \frac{1}{2}$.$K^{2/3} = 2 \Rightarrow (K^{2/3})^3 = 2^3 \Rightarrow K^2 = 8$.

यदि वक्र $2x = y^2$ और $2xy = K$ लंबवत प्रतिच्छेद करते हैं,तो $K^2$ का मान क्या है?

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