यदि $(8,3)$ और $(0,3)$ नाभियों वाला और $\frac{4}{3}$ उत्केंद्रता वाला अतिपरवलय का समीकरण $\frac{(x-\alpha)^2}{p}-\frac{(y-\beta)^2}{q}=1$ है,तो $p+q=$

$9x^{2}-16y^{2}=144$ और $x^{2}+y^{2}=9$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है

रेखा $2x + \sqrt{6}y = 2$,वक्र $x^2 - 2y^2 = 4$ की स्पर्श रेखा है। स्पर्श बिंदु है

मान लीजिए कि $R$ एक आयत है जो रेखाओं $x=0, x=2, y=0$ और $y=5$ द्वारा दिया गया है। मान लीजिए $A(\alpha, 0)$ और $B(0, \beta)$,जहाँ $\alpha \in [0, 2]$ और $\beta \in [0, 5]$,इस प्रकार हैं कि रेखाखंड $AB$ आयत $R$ के क्षेत्रफल को $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। तो,$AB$ का मध्य-बिंदु $.........$ पर स्थित है।

उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके नाभियाँ $(0, \pm 12)$ हैं और नाभिलंब की लंबाई $36$ है।

यदि एक अतिपरवलय के एक नाभि से गुजरने वाले नाभिलंब द्वारा दूसरी नाभि पर बनाया गया कोण $60^{\circ}$ है,तो इसकी उत्केंद्रता क्या है?