यदि $r$ त्रिज्या वाले वृत्त के एक चाप की लंबाई $2r$ त्रिज्या वाले वृत्त के एक चाप की लंबाई के बराबर है,तो पहले वृत्त के संगत त्रिज्यखंड का कोण दूसरे वृत्त के संगत त्रिज्यखंड के कोण का दोगुना होता है। क्या यह कथन असत्य है? क्यों?

(A) यह कथन सत्य है,असत्य नहीं।
मान लीजिए कि दो वृत्त $C_1$ और $C_2$ हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r$ और $2r$ हैं और केंद्र $O$ और $O'$ हैं।
यह दिया गया है कि $C_1$ के चाप की लंबाई $l_1$,$C_2$ के चाप की लंबाई $l_2$ के बराबर है,अर्थात $l_1 = l_2 = l$।
मान लीजिए कि $\theta_1$ वृत्त $C_1$ के चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण है और $\theta_2$ वृत्त $C_2$ के चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण है।
चाप की लंबाई का सूत्र $l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi R$ होता है।
$C_1$ के लिए: $l = \frac{\theta_1}{360^\circ} \times 2\pi r$ ........... $(i)$
$C_2$ के लिए: $l = \frac{\theta_2}{360^\circ} \times 2\pi(2r) = \frac{\theta_2}{360^\circ} \times 4\pi r$ ........... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{\theta_1}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{\theta_2}{360^\circ} \times 4\pi r$
$\theta_1 = 2\theta_2$
अतः,पहले वृत्त के त्रिज्यखंड का कोण दूसरे वृत्त के त्रिज्यखंड के कोण का दोगुना है। इसलिए,यह कथन सत्य है।