यदि $P$ से वृत्तों $x^2+y^2-2x+4y-20=0$ और $x^2+y^2-2x-8y+1=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $2:1$ है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?

$\theta$ के सभी मानों के लिए,रेखाओं $x \cos \theta + y \sin \theta = a$ और $x \sin \theta - y \cos \theta = b$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

$A(4,3)$ और $B(2,5)$ दो बिंदु हैं। यदि $P$ रेखा $AB$ के सापेक्ष मूल बिंदु की ओर स्थित एक चर बिंदु है और $AB$ के मध्य बिंदु से अधिकतम $5$ इकाई की दूरी पर है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?

मान लीजिए कि उस वृत्त के केंद्र $(\alpha, \beta)$,$\beta > 0$ का बिंदु पथ $L$ है,जो वृत्त $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है और $x$-अक्ष को भी स्पर्श करता है। तो $L$ और रेखा $y = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि $6$ की स्थिर त्रिज्या वाला एक वृत्त मूल बिंदु $O$ से होकर गुजरता है और निर्देशांक अक्षों को $A$ और $B$ पर मिलता है, तो $\triangle OAB$ के केंद्रक का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

माना फलन $f(x) = 2x^{2} - \log_{e} x$,$x > 0$,अंतराल $(0, a)$ में ह्रासमान है और $(a, 4)$ में वर्धमान है। परवलय $y^{2} = 4ax$ के एक बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बिंदु $(8a, 8a - 1)$ से होकर गुजरती है लेकिन बिंदु $(-\frac{1}{a}, 0)$ से होकर नहीं गुजरती है। यदि $P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ है,तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।