यदि A x^2+2 H x y+B y^2=0 द्वारा दी गई सरल रे | vedclass

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Question

(A) सरल रेखाओं का युग्म $A x^2+2 H x y+B y^2=0$ मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इन रेखाओं द्वारा रेखा $a x+b y+c=0$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए

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(A) सरल रेखाओं का युग्म $A x^2+2 H x y+B y^2=0$ मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इन रेखाओं द्वारा रेखा $a x+b y+c=0$ के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए,रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $60^{\circ}$ या $\frac{\pi}{3}$ होना चाहिए।रेखाओं $A x^2+2 H x y+B y^2=0$ के बीच का कोण $	heta$,$	an 	heta = \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$ द्वारा दिया जाता है।$	heta = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,हमें $	an \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।अतः,$\sqrt{3} = \frac{2 \sqrt{H^2-A B}}{|A+B|}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3 = \frac{4(H^2-A B)}{(A+B)^2}$।$3(A+B)^2 = 4(H^2-A B)$।$3(A^2+2 A B+B^2) = 4 H^2-4 A B$।$3 A^2+6 A B+3 B^2 = 4 H^2-4 A B$।$3 A^2+10 A B+3 B^2 = 4 H^2$।बाएँ पक्ष का गुणनखंड करने पर: $3 A^2+9 A B+A B+3 B^2 = 4 H^2$।$3 A(A+3 B)+B(A+3 B) = 4 H^2$।$(A+3 B)(3 A+B) = 4 H^2$।

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