यदि समांतर षट्फलक (parallelepiped) जिसके किनारे सदिश $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ हैं,का आयतन $12$ है,तो उस चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन क्या होगा जिसके किनारे $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}$ और $\bar{c}+\bar{a}$ हैं?

यदि $\overrightarrow x = 3\hat i - 6\hat j - \hat k$,$\overrightarrow y = \hat i + 4\hat j - 3\hat k$ और $\overrightarrow z = 3\hat i - 4\hat j - 12\hat k$ है,तो $\overrightarrow z$ पर $\overrightarrow x \times \overrightarrow y$ के प्रक्षेप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

यदि $A(-1, 2, 3)$,$B(3, -2, 1)$,$C(2, 1, 3)$ और $D(-1, -2, 4)$ एक चतुष्फलक के शीर्ष हैं,तो इसका आयतन है

$\lambda$ के उन भिन्न वास्तविक मानों की संख्या,जिनके लिए सदिश $-\lambda^2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}-\lambda^2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}-\lambda^2 \hat{k}$ समतलीय हैं,है

यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\vec{p}, \vec{q}$, तथा $\vec{r}$ को $\vec{p}=\frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q}=\frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r}=\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c}+\vec{a}) \cdot \vec{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$|(a \times b) \cdot c| = |a| |b| |c|$,यदि