यदि तीन सदिश $2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,$\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ और $3\hat{i}+\lambda\hat{j}+5\hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\overrightarrow{PR}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\overrightarrow{SQ}=\hat{i}-3 \hat{j}-4 \hat{k}$ एक समांतर चतुर्भुज $PQRS$ के विकर्ण हैं और $\overrightarrow{PT}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ एक अन्य सदिश है। तो सदिशों $\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}$ और $\overrightarrow{PS}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए।

यदि $2i + 3j$,$i + j + k$ और $\lambda i + 4j + 2k$ एक क्रम में लिए गए एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के सह-आदि किनारे हैं जिसका आयतन $2$ घन इकाई है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b, c$ तीन समतलीय सदिश हैं,तो $[a + b, b + c, c + a] = $

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ को $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, तो $[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot \vec{r}]$ का मान है

मान लीजिए $a=p(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$, $b=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$, और $c=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ तीन सदिश हैं। यदि $[abc]$ का मान $15$ से अधिक नहीं है और $-5$ से कम नहीं है, तो $p$ किस अंतराल में स्थित है?