જો $2 \,kg$ અને $3 \,kg$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો અનુક્રમે $20 \,m \,s^{-1}$ અને $10 \,m \,s^{-1}$ ના વેગથી કાટખૂણે ગતિ કરતા હોય, તો આ બે પદાર્થોના તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ કેટલો હશે?

$1 \,kg, 2 \,kg$ અને $3 \,kg$ દળ ધરાવતા ત્રણ કણોનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(C.M.)$ બિંદુ $(1, 2, 3)$ પર છે અને $3 \,kg$ અને $2 \,kg$ ના અન્ય કણોની સિસ્ટમનું $C.M.$ બિંદુ $(-1, 3, -2)$ પર છે. $5 \,kg$ દળના કણને ક્યાં મૂકવો જોઈએ જેથી સમગ્ર સિસ્ટમનું $C.M.$ પ્રથમ સિસ્ટમના $C.M.$ પર રહે?

$1 \, g, 2 \, g$ અને $3 \, g$ દળ ધરાવતા કણોના તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર છે. જ્યારે $4 \, g$ દળ ધરાવતો અને $\alpha(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ સ્થાનસદિશ ધરાવતો કણ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(1, 2, 3)$ મળે છે. જો $\alpha$ અચળ હોય,તો તેનું મૂલ્ય કેટલું હોવું જોઈએ?

$5L$ લંબાઈના સળિયાને કાટખૂણે વાળવામાં આવે છે,જેમાં એક બાજુની લંબાઈ $2L$ રાખવામાં આવે છે. તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન શોધો. ($L = 10 \ cm$ લો)

$2 M$ દળ ધરાવતા ત્રણ સમાન ગોળાઓને એક કાટકોણ ત્રિકોણના ખૂણાઓ પર મૂકવામાં આવ્યા છે,જેની પરસ્પર લંબ બાજુઓ દરેક $4 \ m$ છે. આ બે બાજુઓના છેદબિંદુને ઉગમબિંદુ તરીકે લેતા,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય $\frac{4 \sqrt{2}}{x}$ છે,જ્યાં $x$ નું મૂલ્ય . . . . . . છે.

$(a)$ પદાર્થનું ગુરુત્વકેન્દ્ર $(C.G.)$ એ બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થનું વજન કાર્ય કરે છે.
$(b)$ જો પૃથ્વીની ત્રિજ્યા અનંત મોટી માનવામાં આવે તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને ગુરુત્વકેન્દ્ર એક જ સ્થાને હોય છે.
$(c)$ કોઈપણ પદાર્થને કારણે બાહ્ય બિંદુ પર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે,પદાર્થનું સમગ્ર દ્રવ્યમાન તેના $C.G.$ પર કેન્દ્રિત થયેલું ગણી શકાય.
$(d)$ કોઈપણ અક્ષની આસપાસ ફરતા પદાર્થની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા એ પદાર્થના $C.G.$ થી પરિભ્રમણની અક્ષ પર દોરેલા લંબની લંબાઈ છે.
નીચેનામાંથી કઈ જોડી સાચી છે?