$\Delta ABC$ અને $\Delta XYZ$ માં,$m \angle A = m \angle X$ અને $m \angle B = m \angle Y$ છે. $\overline{AM}$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા છે અને $\overline{XP}$ એ $\Delta XYZ$ ની મધ્યગા છે. સાબિત કરો કે $AM \times YZ = XP \times BC$.

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ અને $\Delta XYZ$ માં,આપણને $m \angle A = m \angle X$ અને $m \angle B = m \angle Y$ આપેલ છે. $AA$ (ખૂણો-ખૂણો) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABC \sim \Delta XYZ$ થાય.
$2$. ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે: $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ} = \frac{AC}{XZ}$.
$3$. $\frac{BC}{YZ} = \frac{AB}{XY}$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{BC}{AB} = \frac{YZ}{XY}$.
$4$. $\Delta ABM$ અને $\Delta XYP$ નો વિચાર કરો. અહીં $m \angle B = m \angle Y$ અને $\frac{AB}{XY} = \frac{BM}{YP}$ છે (કારણ કે $BM = \frac{1}{2} BC$ અને $YP = \frac{1}{2} YZ$,તેથી અડધા ભાગનો ગુણોત્તર બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો જ થાય).
$5$. $SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta ABM \sim \Delta XYP$ થાય.
$6$. તેથી,તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન થાય: $\frac{AM}{XP} = \frac{AB}{XY} = \frac{BM}{YP}$.
$7$. કારણ કે $\frac{AM}{XP} = \frac{BC}{YZ}$ (કારણ કે $\frac{AB}{XY} = \frac{BC}{YZ}$),તેથી $AM \times YZ = XP \times BC$ મળે. આમ,સાબિત થાય છે.