$\Delta ABC$ માં,$m \angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BE}$ એ કર્ણ $\overline{AC}$ પરનો વેધ છે. સાબિત કરો કે $\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE}{CE}$.

(A) $\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $BE \perp AC$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે,તો વેધની બંને બાજુના ત્રિકોણો મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે અને પરસ્પર પણ સમરૂપ હોય છે.
$1$. $\Delta ABE \sim \Delta ABC$ ($AA$ સમરૂપતા મુજબ).
તેથી,$\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AB}$,જેનો અર્થ છે કે $AB^2 = AE \cdot AC$ --- $(1)$.
$2$. $\Delta CBE \sim \Delta ABC$ ($AA$ સમરૂપતા મુજબ).
તેથી,$\frac{BC}{AC} = \frac{CE}{BC}$,જેનો અર્થ છે કે $BC^2 = CE \cdot AC$ --- $(2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE \cdot AC}{CE \cdot AC}$.
અંશ અને છેદમાંથી $AC$ ઉડાડતા,આપણને મળે છે:
$\frac{AB^2}{BC^2} = \frac{AE}{CE}$.
આમ,સાબિત થાય છે.