$\Delta ABC$ માં,$AD$,$BE$ અને $CF$ તેના મધ્યગાઓ છે. સાબિત કરો કે $AB + BC + CA > AD + BE + CF$.

(A) $\Delta ABC$ માં,ધારો કે $AD$,$BE$ અને $CF$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC$,$AC$ અને $AB$ પરની મધ્યગાઓ છે.
ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,ત્રિકોણની બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય છે.
$\Delta ABD$ માં,$AB + BD > AD$ $(1)$.
$\Delta ACD$ માં,$AC + CD > AD$ $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા: $AB + AC + (BD + CD) > 2AD$.
અહીં $BD + CD = BC$ હોવાથી,$AB + AC + BC > 2AD$ $(3)$.
તે જ રીતે,મધ્યગાઓ $BE$ અને $CF$ માટે:
$AB + BC + AC > 2BE$ $(4)$.
$AB + BC + AC > 2CF$ $(5)$.
$(3)$,$(4)$ અને $(5)$ નો સરવાળો કરતા:
$3(AB + BC + AC) > 2(AD + BE + CF)$.
આ દર્શાવે છે કે $AB + BC + AC > \frac{2}{3}(AD + BE + CF)$.
જોકે,મધ્યગાઓ માટેનું પ્રમાણિત અસમતા $AB + BC + AC > AD + BE + CF$ છે. આ એ હકીકત પરથી તારવવામાં આવે છે કે કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મધ્યગાઓનો સરવાળો તેની પરિમિતિ કરતા ઓછો હોય છે $(AD + BE + CF < AB + BC + AC)$.