$10$ सत्य-असत्य प्रकार के प्रश्नों के उत्तर कितने तरीकों से दिए जा सकते हैं?

यदि शब्द $'GANGARAM'$ के सभी अक्षरों को व्यवस्थित किया जाए,तो ऐसे कितने शब्द बनेंगे जिनमें ठीक दो स्वर एक साथ हों लेकिन कोई भी दो $'G'$ एक साथ न हों?

$35$ सेबों को $3$ लड़कों के बीच इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक को कितने भी सेब मिल सकें।

एक कमरे में $9$ कुर्सियाँ हैं जिन पर $6$ व्यक्तियों को बैठाना है। इन $6$ व्यक्तियों में से एक अतिथि है जिसे एक विशिष्ट कुर्सी पर ही बैठना है। वे कितने तरीकों से बैठ सकते हैं?

$^{10}C_{x-1} > 2 \cdot ^{10}C_x$ का हल समुच्चय क्या है?

यदि $a_n = \sum_{r = 0}^n \frac{1}{^nC_r}$ है,तो $\sum_{r = 0}^n \frac{r}{^nC_r}$ का मान ज्ञात कीजिए।