$5$ चाबियों को एक छल्ले (ring) में कितने तरीकों से पिरोया जा सकता है?

$20$ देशों के बीच एक गोलमेज सम्मेलन आयोजित किया जाना है। यदि दो विशेष प्रतिनिधि एक साथ बैठना चाहते हैं,तो ऐसी व्यवस्था कितने तरीकों से की जा सकती है?

$12$ व्यक्तियों को एक गोल मेज पर व्यवस्थित किया जाना है। यदि उनमें से दो विशेष व्यक्ति एक-दूसरे के बगल में न हों,तो व्यवस्थाओं की कुल संख्या क्या है?

ठीक $10$ फूलों से कितने तरीकों से एक माला बनाई जा सकती है?

छह व्यक्तियों $A, B, C, D, E$ और $F$ को एक वृत्ताकार मेज पर केंद्र की ओर मुख करके बैठाना है। यदि $A$ के ठीक दाईं ओर $E$ या $F$ हो और $E$ के ठीक दाईं ओर $F$ या $D$ हो,तो ज्ञात कीजिए कि यह कितने तरीकों से किया जा सकता है।

एक समिति के $5$ पुरुष और $2$ महिला सदस्यों को एक गोल मेज के चारों ओर कितनी तरह से बैठाया जा सकता है ताकि दोनों महिला सदस्य एक साथ न बैठें?