નીચેની સમસ્યાઓમાં,નળાકાર પર લાગતા ઘર્ષણ બળની સાચી દિશા દર્શાવો,જેને ખરબચડી સપાટી પર અચળ બળ $F$ દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે. એક નળાકારને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઉપરના બિંદુએ લાગતા બળ $F$ દ્વારા આડું ખેંચવામાં આવે છે. ઘર્ષણ બળ નીચેનામાંથી કઈ આકૃતિ દ્વારા આપી શકાય?

પ્રીસેશન (Precession) એટલે શું?

આકૃતિ એક એવી સિસ્ટમ દર્શાવે છે જેમાં $(i)$ $3R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ આડી સપાટી પર $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે સરક્યા વિના ક્લોકવાઇઝ ગબડે છે અને $(ii)$ $2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી આંતરિક ડિસ્ક $\omega/2$ કોણીય ઝડપ સાથે એન્ટી-ક્લોકવાઇઝ ફરે છે. રીંગ અને ડિસ્ક ઘર્ષણરહિત બોલ બેરિંગ દ્વારા અલગ પડે છે. સિસ્ટમ $x-z$ સમતલમાં છે. આંતરિક ડિસ્ક પરનું બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુથી $R$ અંતરે છે,જ્યાં $OP$ આડી સપાટી સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તો આડી સપાટીની સાપેક્ષમાં,
$(A)$ બિંદુ $O$ નો રેખીય વેગ $3R\omega\hat{i}$ છે.
$(B)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{11}{4}R\omega\hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(C)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $\frac{13}{4}R\omega\hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{4}R\omega\hat{k}$ છે.
$(D)$ બિંદુ $P$ નો રેખીય વેગ $(3 - \frac{\sqrt{3}}{4})R\omega\hat{i} + \frac{1}{4}R\omega\hat{k}$ છે.

નીચેના વિધાનો ખરા છે કે ખોટાં તે જણાવો:
$(1)$ વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમમાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
$(2)$ "જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી આંતરિક બળ શૂન્ય હોય, તો તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહે છે." આ રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનું વિધાન છે.
$(3)$ દઢ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન હંમેશા દઢ પદાર્થની અંદર જ હોય છે.
$(4)$ ચાકગતિ કરતાં દઢ પદાર્થના બધા કણોનો રેખીય વેગ સમાન હોય છે.

$O$ પર ધરી ધરાવતો એક પાતળો સમાન સળિયો સમક્ષિતિજ સમતલમાં અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ થી ફરે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. $t = 0$ સમયે,$m$ દળ ધરાવતું એક નાનું જીવડું $O$ થી શરૂઆત કરે છે અને સળિયાની સાપેક્ષમાં અચળ ઝડપ $v$ થી બીજા છેડા તરફ ગતિ કરે છે. તે $t = T$ સમયે સળિયાના છેડે પહોંચે છે અને અટકી જાય છે. સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રની કોણીય ઝડપ $\omega$ રહે છે. $O$ ની સાપેક્ષમાં તંત્ર પર લાગતા ટોર્ક $(|\vec{\tau}|)$ ના મૂલ્યને સમયના વિધેય તરીકે નીચેનામાંથી કયો આલેખ શ્રેષ્ઠ રીતે દર્શાવે છે?

$r$ ત્રિજ્યાનું એક પૈડું સમક્ષિતિજ રસ્તા પર $v$ ઝડપથી સરક્યા વગર ગબડે છે. જ્યારે તે રસ્તા પરના બિંદુ $A$ પર હોય,ત્યારે કાદવનો એક નાનો ટુકડો તેના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુ $B$ થી અલગ થાય છે અને રસ્તા પરના બિંદુ $C$ પર પડે છે. અંતર $AC$ કેટલું હશે?