$x$-अक्ष बिंदुओं $(-4, -6)$ और $(-1, 7)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है? विभाजन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

(6:7) माना कि अभीष्ट अनुपात $\lambda : 1$ है। बिंदुओं $A(-4, -6)$ और $B(-1, 7)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को विभाजित करने वाले बिंदु $M$ के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$\left( \frac{\lambda x_2 + 1 \cdot x_1}{\lambda + 1}, \frac{\lambda y_2 + 1 \cdot y_1}{\lambda + 1} \right)$
मान $x_1 = -4, x_2 = -1, y_1 = -6, y_2 = 7$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left( \frac{\lambda(-1) + 1(-4)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(7) + 1(-6)}{\lambda + 1} \right) = \left( \frac{-\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{7\lambda - 6}{\lambda + 1} \right)$
चूंकि रेखाखंड $x$-अक्ष द्वारा विभाजित होता है,इसलिए विभाजन बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{7\lambda - 6}{\lambda + 1} = 0 \implies 7\lambda - 6 = 0 \implies \lambda = \frac{6}{7}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $6:7$ है।
अब,$\lambda = \frac{6}{7}$ को $x$-निर्देशांक के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{-\frac{6}{7} - 4}{\frac{6}{7} + 1} = \frac{-\frac{34}{7}}{\frac{13}{7}} = -\frac{34}{13}$
इसलिए,विभाजन बिंदु $\left( -\frac{34}{13}, 0 \right)$ है।