परिमेय फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{5x}{(x+1)(x^2-4)}$

(N/A) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{5x}{(x+1)(x^2-4)} dx$.
सबसे पहले,हर का गुणनखंड करें: $(x+1)(x^2-4) = (x+1)(x+2)(x-2)$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $\frac{5x}{(x+1)(x+2)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-2}$.
तब,$5x = A(x+2)(x-2) + B(x+1)(x-2) + C(x+1)(x+2)$.
$x = -1$ रखने पर: $5(-1) = A(1)(-3) \Rightarrow -5 = -3A \Rightarrow A = \frac{5}{3}$.
$x = -2$ रखने पर: $5(-2) = B(-1)(-4) \Rightarrow -10 = 4B \Rightarrow B = -\frac{5}{2}$.
$x = 2$ रखने पर: $5(2) = C(3)(4) \Rightarrow 10 = 12C \Rightarrow C = \frac{5}{6}$.
अतः,$I = \int \left( \frac{5/3}{x+1} - \frac{5/2}{x+2} + \frac{5/6}{x-2} \right) dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,$I = \frac{5}{3} \ln|x+1| - \frac{5}{2} \ln|x+2| + \frac{5}{6} \ln|x-2| + K$,जहाँ $K$ समाकलन स्थिरांक है।