मान लीजिए f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1 और g,f क | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = (x-1)^3 + 2$.मान लीजिए $y = g(x)$,तो $x = f(y) = (y-1)^3 + 2$.हमें $y = g(x)$ और $x$-अक्ष के बीच $x = 1$

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$\frac{1}{4}$

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(B) दिया गया है $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1 = (x-1)^3 + 2$.मान लीजिए $y = g(x)$,तो $x = f(y) = (y-1)^3 + 2$.हमें $y = g(x)$ और $x$-अक्ष के बीच $x = 1$ से $x = 2$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात करना है।यह $x = f(y)$ और $y$-अक्ष के बीच $y = g(1)$ से $y = g(2)$ के बीच के क्षेत्रफल के बराबर है।चूंकि $f(0) = 1$,इसलिए $g(1) = 0$ और $f(1) = 2$,इसलिए $g(2) = 1$ है।अतः,क्षेत्रफल $A = \int_1^2 g(x) dx$ है। $x = f(y)$ लेने पर,$dx = f'(y) dy$ प्राप्त होता है।जब $x = 1, y = 0$ और जब $x = 2, y = 1$ होता है।$A = \int_0^1 y f'(y) dy = [y f(y)]_0^1 - \int_0^1 f(y) dy = (1 \cdot f(1) - 0 \cdot f(0)) - \int_0^1 (y^3 - 3y^2 + 3y + 1) dy = 2 - [\frac{y^4}{4} - y^3 + \frac{3y^2}{2} + y]_0^1 = 2 - (\frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} + 1) = 2 - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}$.

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