ધારો કે vec{a} અને vec{b} બે એકમ સદિશો છે જેથ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ અને $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{55}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ અને $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$ મળે.$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3 \implies 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos 	heta = \frac{1}{2}$,તેથી $\cos 	heta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $	heta = 60^{\circ}$.આમ,$|\vec{a} 	imes \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin 60^{\circ} = 1 	imes 1 	imes \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.હવે,$\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3(\vec{a} 	imes \vec{b})$.કારણ કે $(\vec{a} 	imes \vec{b})$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $|\vec{c}|^2 = |\vec{a} + 2\vec{b}|^2 + |3(\vec{a} 	imes \vec{b})|^2$.$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + 4(1) + 4(\frac{1}{2}) = 1 + 4 + 2 = 7$.$|3(\vec{a} 	imes \vec{b})|^2 = 9 |\vec{a} 	imes \vec{b}|^2 = 9 	imes (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 9 	imes \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.$|\vec{c}|^2 = 7 + \frac{27}{4} = \frac{28 + 27}{4} = \frac{55}{4}$.તેથી,$|\vec{c}| = \frac{\sqrt{55}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2|\vec{c}| = \sqrt{55}$.

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ $R^2$ માં,જો સદિશ $\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}$ નો $\sqrt{3} \hat{i}+\hat{j}$ પરના પ્રક્ષેપ સદિશનું માન $\sqrt{3}$ હોય અને જો $\alpha=2+\sqrt{3} \beta$ હોય,તો $\|\alpha\|$ ની શક્ય કિંમત(ઓ) છે	$(P)$ $1$
$(B)$ ધારો કે $a$ અને $b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી વિધેય $f(x)=\begin{cases} -3ax^2-2, & x < 1 \\ bx+a^2, & x \geq 1 \end{cases}$ એ તમામ $x \in R$ માટે વિકલનીય છે. તો $a$ ની શક્ય કિંમત(ઓ) છે	$(Q)$ $2$
$(C)$ ધારો કે $\omega \neq 1$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે. જો $(3-3\omega+2\omega^2)^{4n+3} + (2+3\omega-3\omega^2)^{4n+3} + (-3+2\omega+3\omega^2)^{4n+3}=0$ હોય,તો $n$ ની શક્ય કિંમત(ઓ) છે	$(R)$ $3$
$(D)$ ધારો કે બે ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ નો હરાત્મક મધ્યક $4$ છે. જો $q$ એ એવી ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે કે જેથી $a, 5, q, b$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો $\|q-a\|$ ની કિંમત(ઓ) છે	$(S)$ $4$
	$(T)$ $5$

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$(A)$ $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$	$1. \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos(\mathbf{a}, \mathbf{b})$
$(B)$ $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b}$	$2. (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$
$(C)$ $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$	$3. \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
$(D)$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$	$4. \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|$
	$5. (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$

ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બે એકમ સદિશો છે જેથી $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ થાય. જો $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3(\vec{a} \times \vec{b})$ હોય,તો $2|\vec{c}|$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $S$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નું પરિકેન્દ્ર,$G$ મધ્યકેન્દ્ર અને $O$ લંબકેન્દ્ર હોય,તો $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module