मान लीजिए $x_{0}$,$f(x)=\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})$ का स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है,जहाँ $\vec{a}=x \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=-2 \hat{i}+x \hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{c}=7 \hat{i}-2 \hat{j}+x \hat{k}$ है। तो $x=x_{0}$ पर $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि तीन असमतलीय सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $4$ घन इकाई है,तो $[\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है। मान लीजिए $\overline{OP} = x\hat{i} + y\hat{j} - \hat{k}$ और $\overline{OQ} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3x\hat{k}$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ और $x > 0$,इस प्रकार हैं कि $|\overline{PQ}| = \sqrt{20}$ और सदिश $\overline{OP}$,$\overline{OQ}$ के लंबवत है। यदि $\overline{OR} = 3\hat{i} + z\hat{j} - 7\hat{k}$,जहाँ $z \in \mathbb{R}$,$\overline{OP}$ और $\overline{OQ}$ के साथ समतलीय है,तो $x^2 + y^2 + z^2$ का मान ...... है।

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) जिसके किनारे $\vec{OA}, \vec{OB}$ और $\vec{OC}$ हैं,जहाँ $A(4, 3, 1), B(3, 1, 2)$ और $C(5, 2, 1)$ हैं और $O$ मूलबिंदु है,का आयतन ......... घन इकाई है।

यदि $a, b, c$ तीन समतलीय सदिश हैं,तो $[a + b, b + c, c + a] = $

यदि $\bar{u}=\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}, \bar{v}=3 \hat{\imath}+\hat{k}$ और $\bar{w}=\hat{\jmath}-\hat{k}$ है,तो $\bar{u} \times \bar{v}, \bar{u}+\bar{w}$ और $\bar{v}+\bar{w}$ को को-टर्मिनस किनारों के रूप में रखने वाले समानांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए।