मान लीजिए A और B 3 times 3 वास्तविक आव्यूह है | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^{T} = A$. दिया गया है कि $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $B^{T} = -B$. मान लीजिए $C = A^{2}B^{2}

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अनंत हल

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $A$ एक सममित आव्यूह है,इसलिए $A^{T} = A$. दिया गया है कि $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $B^{T} = -B$. मान लीजिए $C = A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2}$. अब,$C$ का परिवर्त (transpose) लेते हैं: $C^{T} = (A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2})^{T} = (A^{2}B^{2})^{T} - (B^{2}A^{2})^{T}$. $(PQ)^{T} = Q^{T}P^{T}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर: $C^{T} = (B^{2})^{T}(A^{2})^{T} - (A^{2})^{T}(B^{2})^{T}$. चूंकि $(A^{2})^{T} = (A^{T})^{2} = A^{2}$ और $(B^{2})^{T} = (B^{T})^{2} = (-B)^{2} = B^{2}$,इसलिए: $C^{T} = B^{2}A^{2} - A^{2}B^{2} = -(A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2}) = -C$. अतः,$C$ एक विषम-सममित आव्यूह है। विषम कोटि $n$ (यहाँ $n = 3$) के किसी भी विषम-सममित आव्यूह $C$ के लिए,सारणिक हमेशा शून्य होता है,अर्थात $\det(C) = 0$. चूंकि निकाय $(C)X = O$ है और $\det(C) = 0$ है,इसलिए निकाय के अनंत हल हैं।

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