ધારો કે f: R rightarrow R એ f(x) = begin{case | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x^3}{(1-\cos 2x)^2} \ln\left(\frac{1+2

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$ હોવું જોઈએ.આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x^3}{(1-\cos 2x)^2} \ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right)$.$1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ હોવાથી,$(1-\cos 2x)^2 = 4\sin^4 x$ થાય.તેથી,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3}{4\sin^4 x} \ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right)$.જ્યારે $x \rightarrow 0$ હોય ત્યારે $\sin x \approx x$ લેતા,$\frac{x^3}{4\sin^4 x} \approx \frac{x^3}{4x^4} = \frac{1}{4x}$.હવે,$\ln\left(\frac{1+2xe^{-2x}}{(1-xe^{-x})^2}\right) = \ln(1+2xe^{-2x}) - 2\ln(1-xe^{-x})$.નાના $u$ માટે $\ln(1+u) \approx u$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2xe^{-2x} - 2(-xe^{-x}) = 2xe^{-2x} + 2xe^{-x}$ મળે.જેમ $x \rightarrow 0$ થાય,તેમ $e^{-2x} \rightarrow 1$ અને $e^{-x} \rightarrow 1$,તેથી પદ $2x + 2x = 4x$ બને છે.આમ,$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{4x} \cdot (4x) = 1$.

Similar Questions

જો $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ne 1 \\ 2, & x = 1 \end{cases}$ હોય,તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

વિધેય $f$ ની સાતત્યતા ચર્ચો,જ્યાં $f$ એ $f(x) = \begin{cases} 2x, & \text{જો } x < 0 \\ 0, & \text{જો } 0 \le x \le 1 \\ 4x, & \text{જો } x > 1 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,$x=3$ આગળ.

$f$ ના તમામ અસતત બિંદુઓ શોધો,જ્યાં $f$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે: $f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & \text{જો } x \le 2 \\ 2x - 3, & \text{જો } x > 2 \end{cases}$

જો $f(x) = \begin{cases} k, & x = 1 \text{ માટે} \\ \frac{(9x-1)(\sqrt{x}-1)}{3x^2+2x-5}, & x \neq 1 \text{ માટે} \end{cases}$ એ $[0, \infty)$ પર સતત હોય, તો $k =$

જો વિધેય $f(x) = \begin{cases} (\cos x)^{1/x}, & x \ne 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module