मान लीजिए $a, b$ और $c$ भिन्न धनात्मक संख्याएँ हैं। यदि सदिश $a \hat{i} + a \hat{j} + c \hat{k}$,$\hat{i} + \hat{k}$ और $c \hat{i} + c \hat{j} + b \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $c$ का मान क्या होगा?

यदि $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b})=54$ है,तो $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी सह-अंतिम भुजाएँ सदिशों $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j} + n\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - n\hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} + n\hat{j} + 3\hat{k}$ $(n \geq 0)$ द्वारा दी गई हैं,$158$ घन इकाई है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $a = -3i + 7j + 5k$,$b = -3i + 7j - 3k$,और $c = 7i - 5j - 3k$ एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन सह-आगामी किनारे हैं,तो इसका आयतन क्या है?

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं जो $4$ घन इकाई आयतन वाले समांतर षट्फलक के सह-आदिम किनारों को दर्शाते हैं,तो $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\bar{a}=\hat{i}+5 \hat{k}, \bar{b}=2 \hat{i}+3 \hat{k}, \bar{c}=4 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\bar{d}=\hat{i}-\hat{j}$ है,तो $(\bar{c}-\bar{a}) \cdot(\bar{b} \times \bar{d})=$