मान लीजिए S = {sqrt{n} : 1 leq n leq 50, n te | vedclass

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Question

(B) समुच्चय $S$ में $1$ से $50$ तक की विषम पूर्णांक संख्याओं के वर्गमूल शामिल हैं। अतः,$S = \{\sqrt{1}, \sqrt{3}, \dots, \sqrt{49}\}$। $S$ में पदों की

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$221$

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(B) समुच्चय $S$ में $1$ से $50$ तक की विषम पूर्णांक संख्याओं के वर्गमूल शामिल हैं। अतः,$S = \{\sqrt{1}, \sqrt{3}, \dots, \sqrt{49}\}$। $S$ में पदों की संख्या $25$ है।आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & a \ -1 & 1 & 0 \ -a & 0 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,सारणिक $|A| = 1(1 - 0) - 0 + a(0 - (-a)) = 1 + a^2$ है।हम जानते हैं कि $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-1}$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है। यहाँ $n=3$ है,इसलिए $\operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = |A|^2 = (1 + a^2)^2$।हमें $\sum_{a \in S} (1 + a^2)^2$ की गणना करनी है। चूँकि $a = \sqrt{n}$,इसलिए $a^2 = n$ है। योग $\sum_{n \in \{1, 3, \dots, 49\}} (1 + n)^2$ हो जाता है।मान लीजिए $n = 2k - 1$ जहाँ $k = 1, 2, \dots, 25$ है। तो $1 + n = 1 + 2k - 1 = 2k$ होगा।योग $\sum_{k=1}^{25} (2k)^2 = 4 \sum_{k=1}^{25} k^2$ है।सूत्र $\sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ का उपयोग करने पर,हमें $4 	imes \frac{25(26)(51)}{6} = 4 	imes 25 	imes 13 	imes 17 = 22100$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $\sum \operatorname{det}(\operatorname{adj} A) = 100 \lambda$,इसलिए $22100 = 100 \lambda$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = 221$।

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यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$ है,तो $(A + B)^2$ किसके बराबर है?

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