मान लीजिए कि $Q$ और $R$ रेखा $\frac{x+1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-1}{2}$ पर स्थित दो बिंदु हैं जो बिंदु $P(4, 2, 7)$ से $\sqrt{26}$ की दूरी पर हैं। तो त्रिभुज $PQR$ के क्षेत्रफल का वर्ग $....$ है।

यदि रेखाएँ $\frac{1-x}{3} = \frac{7y-14}{2p} = \frac{z-3}{-2}$ और $\frac{7-7x}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{6-z}{5}$ परस्पर लंब हैं, तो $p$ का मान . . . . . . है।

मान लीजिए कि $\lambda$ के वे मान जिनके लिए रेखाओं $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{6}}$ है,$\lambda_1$ और $\lambda_2$ हैं। तो बिंदुओं $(0,0), (\lambda_1, \lambda_2)$ और $(\lambda_2, \lambda_1)$ से गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ रेखाएँ $\overrightarrow{r} = \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}), \lambda \in R$ और $\overrightarrow{r} = \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}), \mu \in R$ को दर्शाती हैं। यदि $L_3$ एक ऐसी रेखा है जो $L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है और दोनों को काटती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प $L_3$ का वर्णन करता है?
$(1) \overrightarrow{r} = \frac{1}{3}(2\hat{i} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(2) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(3) \overrightarrow{r} = t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$
$(4) \overrightarrow{r} = \frac{2}{9}(4\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + t(2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}), t \in R$

मान लीजिए कि बिंदु $(-1, \alpha, \beta)$ रेखाओं $\frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2}$ और $\frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{0}$ के बीच की न्यूनतम दूरी की रेखा पर स्थित है। तो $(\alpha-\beta)^2$ का मान .................... है।

यदि बिंदुओं $(1, 2, 3)$ और $(2, 3, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा और रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{0}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\alpha$ है,तो $28 \alpha^2$ का मान $........$ है।