ધારો કે n એક ધન પૂર્ણાંક છે. વાસ્તવિક સંખ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I = \int \limits_1^{n+1} \frac{(\{x\})^{[x]}}{[x]} d x$. અંતરાલ $[k, k+1)$ માટે $[x]$ અચળ હોવાથી,જ્યાં $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$,આપણે સ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n}{n+1}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I = \int \limits_1^{n+1} \frac{(\{x\})^{[x]}}{[x]} d x$. અંતરાલ $[k, k+1)$ માટે $[x]$ અચળ હોવાથી,જ્યાં $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$,આપણે સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરી શકીએ: $I = \sum_{k=1}^{n} \int_{k}^{k+1} \frac{(\{x\})^k}{k} d x$. $u = x-k$ લેતા,$dx = du$,અને જ્યારે $x$ એ $k$ થી $k+1$ સુધી બદલાય ત્યારે $\{x\} = u$ થાય છે: $I = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \int_{0}^{1} u^k du = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \left[ \frac{u^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$. આંશિક અપૂર્ણાંકની રીત વાપરતા,$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$. તેથી,$I = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$. આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $I = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

Similar Questions

$\int \limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(2+3 \sin x)}{\sin x(1+\cos x)} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\frac{2}{3}} \frac{d x}{4+9 x^{2}}$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{0}^{4} \{ \sqrt{x} \} dx$ નું મૂલ્ય શોધો,જ્યાં $\{ \}$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ દર્શાવે છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ $\int_{a}^{b} x^{3} dx = 0$ અને $\int_{a}^{b} x^{2} dx = \frac{2}{3}$ ને એકસાથે સંતોષતી ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(a, b)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module