मान लीजिए S उन सभी बिंदुओं left(frac{a}{b}, f | vedclass

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Question

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है। चूँकि बिंदु $\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right)$ वृत्त पर स्थित है,हमारे पास $\frac{a^2}{b^2} + \frac{c^2}{

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रिक्त है

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(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है। चूँकि बिंदु $\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right)$ वृत्त पर स्थित है,हमारे पास $\frac{a^2}{b^2} + \frac{c^2}{d^2} = 1$ है,जिसका अर्थ है $a^2 d^2 + c^2 b^2 = b^2 d^2$।चूँकि $b$ और $d$ सम हैं,मान लीजिए $b = 2k$ और $d = 2m$। $\operatorname{HCF}(a, b) = 1$ होने के कारण,$a$ विषम है। इसी प्रकार,$c$ भी विषम है।समीकरण में मान रखने पर: $4 a^2 m^2 + 4 c^2 k^2 = 16 k^2 m^2$,जो सरल होकर $a^2 m^2 + c^2 k^2 = 4 k^2 m^2$ बनता है।विषम संख्या का वर्ग हमेशा $1 \pmod{4}$ होता है। अतः,$a^2 m^2 + c^2 k^2 \equiv m^2 + k^2 \pmod{4}$। दायां पक्ष $0 \pmod{4}$ है,जो केवल तभी संभव है जब $m$ और $k$ दोनों सम हों,लेकिन यह $b$ और $d$ के न्यूनतम रूप की शर्त का उल्लंघन करता है।अतः,समुच्चय $S$ रिक्त है।

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