मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण x^3 dy + (xy - 1 | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^3 \frac{dy}{dx} + xy - 1 = 0$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^2} = \frac{1}{x^3}$.यह $\frac{dy}{dx

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $x^3 \frac{dy}{dx} + xy - 1 = 0$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x^2} = \frac{1}{x^3}$.यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x^2}$ और $Q = \frac{1}{x^3}$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x^2} dx} = e^{-\frac{1}{x}}$ है।सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + C$ है।$y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = \int \frac{1}{x^3} e^{-\frac{1}{x}} dx$.मान लीजिए $t = -\frac{1}{x}$,तो $dt = \frac{1}{x^2} dx$ है। साथ ही,$\frac{1}{x} = -t$ है।इन मानों को समाकलन में रखने पर: $y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = \int (-t) e^t dt = -(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - t) + C$.$y \cdot e^{-\frac{1}{x}} = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) + C$.$e^{-\frac{1}{x}}$ से भाग देने पर,$y = 1 + \frac{1}{x} + C e^{\frac{1}{x}}$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $y(\frac{1}{2}) = 3 - e$,अतः $3 - e = 1 + \frac{1}{1/2} + C e^{\frac{1}{1/2}} = 1 + 2 + C e^2 = 3 + C e^2$.इस प्रकार,$3 - e = 3 + C e^2 \implies C e^2 = -e \implies C = -\frac{1}{e} = -e^{-1}$.अतः,$y(x) = 1 + \frac{1}{x} - e^{-1} e^{\frac{1}{x}} = 1 + \frac{1}{x} - e^{\frac{1}{x} - 1}$.$x = 1$ के लिए,$y(1) = 1 + \frac{1}{1} - e^{\frac{1}{1} - 1} = 1 + 1 - e^0 = 2 - 1 = 1$.

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x^3 dy + (xy - 1) dx = 0, x > 0$ का हल है,जहाँ $y(\frac{1}{2}) = 3 - e$ है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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