मान लीजिए कि y=y(x) अवकल समीकरण (1-x^2) dy = | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2) dy = [xy + (x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}] dx$ है।$(1-x^2) dx$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^2} y = \frac{(x

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$97$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1-x^2) dy = [xy + (x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}] dx$ है।$(1-x^2) dx$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1-x^2} y = \frac{(x^3+2) \sqrt{3(1-x^2)}}{1-x^2}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{x}{1-x^2}$ और $Q(x) = \frac{(x^3+2) \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{x}{1-x^2} dx} = e^{\frac{1}{2} \ln(1-x^2)} = \sqrt{1-x^2}$ है।सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।$y \sqrt{1-x^2} = \int \frac{(x^3+2) \sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} dx + C = \sqrt{3} \int (x^3+2) dx + C$.$y \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} (\frac{x^4}{4} + 2x) + C$.चूँकि $y(0)=0$ दिया गया है,इसलिए $0 = \sqrt{3}(0) + C$,जिससे $C=0$ प्राप्त होता है।अतः,$y \sqrt{1-x^2} = \sqrt{3} (\frac{x^4}{4} + 2x)$ है।$x = 1/2$ के लिए,$y \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3} (\frac{(1/2)^4}{4} + 2(1/2)) = \sqrt{3} (\frac{1}{64} + 1) = \sqrt{3} (\frac{65}{64})$ है।$y \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \frac{65}{64}$ है।$y = \frac{65}{32}$ है।चूँकि $m=65$ और $n=32$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $m+n = 65+32 = 97$ है।

सूची $I$ (अवकल समीकरण)	सूची $II$ (समाकलन गुणक)
$(P)$ $(x^3+1)\frac{dy}{dx}+x^2y=3x^2$	$(1)$ $x^3$
$(Q)$ $x^2\frac{dy}{dx}+3xy=x^6$	$(2)$ $(x^3+1)^2$
$(R)$ $(x^3+1)^2\frac{dy}{dx}+6x^2(x^3+1)y=x^2$	$(3)$ $(x^2+1)^2$
$(S)$ $(x^2+1)\frac{dy}{dx}+4xy=\ln x$	$(4)$ $x^2+1$
	$(5)$ $(x^3+1)^{1/3}$
	$(6)$ $(x^3+1)^{1/2}$

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