मान लीजिए alpha = sum_{k=0}^n left( frac{({ } | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि $\frac{{ }^n C_k}{k+1} = \frac{{ }^{n+1} C_{k+1}}{n+1}$ होता है।अतः,$\alpha = \sum_{k=0}^n \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+1}

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$10$

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(D) हम जानते हैं कि $\frac{{ }^n C_k}{k+1} = \frac{{ }^{n+1} C_{k+1}}{n+1}$ होता है।अतः,$\alpha = \sum_{k=0}^n \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+1}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n { }^n C_{n-k} \cdot { }^{n+1} C_{k+1} = \frac{1}{n+1} { }^{2n+1} C_{n+1}$।इसी प्रकार,$\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{{ }^n C_k \cdot { }^{n+1} C_{k+2}}{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n-1} { }^n C_{n-k} \cdot { }^{n+1} C_{k+2} = \frac{1}{n+1} { }^{2n+1} C_{n+2}$।दिया गया है $5 \alpha = 6 \beta$,इसलिए $\frac{\beta}{\alpha} = \frac{5}{6}$।मान रखने पर,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{{ }^{2n+1} C_{n+2}}{{ }^{2n+1} C_{n+1}} = \frac{2n+1 - (n+2) + 1}{n+2} = \frac{n}{n+2}$।$\frac{n}{n+2} = \frac{5}{6}$ को हल करने पर,$6n = 5n + 10$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 10$।

मान लीजिए $\alpha = \sum_{k=0}^n \left( \frac{({ }^n C_k)^2}{k+1} \right)$ और $\beta = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{{ }^n C_k \cdot { }^n C_{k+1}}{k+2} \right)$ है। यदि $5 \alpha = 6 \beta$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\sum\limits_{k = 0}^{10} {^{20}{C_k} = }$

$^{10}C_1 + ^{10}C_3 + ^{10}C_5 + ^{10}C_7 + ^{10}C_9 = $

$\frac{1}{1!(n - 1)!} + \frac{1}{3!(n - 3)!} + \frac{1}{5!(n - 5)!} + \dots = $

$\sum_{r=0}^{6} \left({}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}\right)$ का मान किसके बराबर है?

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