मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण frac{d y}{d x}=f | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{	an x+y}{\sin x(\sec x-\sin x 	an x)}$ है।हर का सरलीकरण: $\sin x(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\c

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$\sqrt{3}\left(2+\log _{e} \sqrt{3}\right)$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{	an x+y}{\sin x(\sec x-\sin x 	an x)}$ है।हर का सरलीकरण: $\sin x(\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin^2 x}{\cos x}) = \sin x(\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}) = \sin x(\frac{\cos^2 x}{\cos x}) = \sin x \cos x$.अतः,$\frac{d y}{d x} = \frac{	an x + y}{\sin x \cos x} = \frac{	an x}{\sin x \cos x} + \frac{y}{\sin x \cos x} = \sec^2 x + y(2 \csc 2x)$.यह $\frac{d y}{d x} - (2 \csc 2x)y = \sec^2 x$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -2 \csc 2x dx} = e^{-\ln|	an x|} = \frac{1}{	an x}$ (चूंकि $x \in (0, \pi/2)$)।सामान्य हल $y \cdot \frac{1}{	an x} = \int \sec^2 x \cdot \frac{1}{	an x} dx + c$ है।मान लीजिए $	an x = t$,तो $\sec^2 x dx = dt$. अतः,$y \cot x = \int \frac{1}{t} dt + c = \ln|t| + c = \ln(	an x) + c$.इस प्रकार,$y = 	an x (\ln(	an x) + c)$.चूंकि $y(\frac{\pi}{4}) = 2$ दिया गया है,तो $2 = 	an(\frac{\pi}{4})(\ln(	an(\frac{\pi}{4})) + c) = 1(0 + c)$,इसलिए $c = 2$.हल $y = 	an x (\ln(	an x) + 2)$ है।$x = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$y(\frac{\pi}{3}) = 	an(\frac{\pi}{3})(\ln(	an(\frac{\pi}{3})) + 2) = \sqrt{3}(\ln \sqrt{3} + 2) = \sqrt{3}(2 + \log_e \sqrt{3})$.

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