मान लीजिए $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+\sqrt{2}x-8=0$ के मूल हैं। यदि $U_n = \alpha^n + \beta^n$ है,तो $\frac{U_{10} + \sqrt{2}U_9}{2U_8}$ का मान ............ है।

मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं। List-$I$ की शर्तों को List-$II$ के संबंधों के साथ सुमेलित करें।

List-$I$	List-$II$
$(i) \alpha = \beta$	$(A) (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} + b = 0$
$(ii) \alpha = 2\beta$	$(B) 2b^2 = 9ac$
$(iii) \alpha = 3\beta$	$(C) b^2 = 6ac$
$(iv) \alpha = \beta^2$	$(D) 3b^2 = 16ac$
	$(E) b^2 = 4ac$
	$(F) (ac^2)^{1/3} + (a^2c)^{1/3} = b$

द्विघात समीकरण $2x^2 - 2(p - 2)x - p - 1 = 0$ के लिए,$p$ का मान क्या होना चाहिए ताकि इसके मूलों के वर्गों का योग न्यूनतम हो?

मान लीजिए कि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $5x^{2} + 6x - 2 = 0$ के मूल हैं। यदि $S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$,तो:

मान लीजिए कि द्विघात बहुपद $p(x)=ax^2+bx+c$ के धनात्मक गुणांक $a, b, c$ इस प्रकार हैं कि $b-a=c-b$ है। यदि $p(x)=0$ के पूर्णांक मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो $\alpha+\beta+\alpha\beta$ का संभावित मान क्या हो सकता है यदि $0 \leq \alpha+\beta+\alpha\beta \leq 8$ है?

मान लीजिए $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-ax-b=0$ के मूल हैं,जहाँ $\operatorname{Im}(\alpha) < \operatorname{Im}(\beta)$ है। मान लीजिए $P_n=\alpha^n-\beta^n$ है। यदि $P_3=-5 \sqrt{7} i, P_4=-3 \sqrt{7} i, P_5=11 \sqrt{7} i$ और $P_6=45 \sqrt{7} i$ है,तो $|\alpha^4+\beta^4|$ का मान . . . . . . है।