मान लीजिए L = lim_{x rightarrow 0} frac{a - s | vedclass

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Question

(B) हमारे पास $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a - a(1 - \frac{x^2}{a^2})^{1/2} - \frac{x^2}{4}}{x^4}$ है।द्विपद विस्तार $(1 - u)^{1/2} = 1 - \frac{1

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$(A, C)$

Vedclass · Answer

(B) हमारे पास $L = \lim_{x ightarrow 0} \frac{a - a(1 - \frac{x^2}{a^2})^{1/2} - \frac{x^2}{4}}{x^4}$ है।द्विपद विस्तार $(1 - u)^{1/2} = 1 - \frac{1}{2}u - \frac{1}{8}u^2 - \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \frac{x^2}{a^2}$:$L = \lim_{x}$ ${ightarrow 0} \frac{a - a(1 - \frac{1}{2}(\frac{x^2}{a^2}) - \frac{1}{8}(\frac{x^2}{a^2})^2) - \frac{x^2}{4}}{x^4}$$L = \lim_{x ightarrow 0} \frac{a - a + \frac{x^2}{2a} + \frac{x^4}{8a^3} - \frac{x^2}{4}}{x^4}$$L = \lim_{x ightarrow 0} \frac{x^2(\frac{1}{2a} - \frac{1}{4}) + \frac{x^4}{8a^3}}{x^4}$.सीमा को परिमित होने के लिए,$x^2$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:$\frac{1}{2a} - \frac{1}{4} = 0 \implies a = 2$.$a = 2$ रखने पर:$L = \lim_{x ightarrow 0} \frac{\frac{x^4}{8(2)^3}}{x^4} = \frac{1}{8 	imes 8} = \frac{1}{64}$.अतः,$a = 2$ और $L = \frac{1}{64}$ है।इसलिए,विकल्प $(A)$ और $(C)$ सही हैं।

मान लीजिए $L = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{a - \sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{4}}{x^4}$,जहाँ $a > 0$ है। यदि $L$ परिमित (finite) है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x^{\frac{1}{3}}}\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^{\frac{2}{3}}} - {{\left( {x - 1} \right)}^{\frac{2}{3}}}} \right)$ का मान है

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^n} - 1}}{x} = $

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sin (\pi \sqrt {{n^2} + 1} ) = $

$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{x}{\sqrt[8]{1-\sin x}-\sqrt[8]{1+\sin x}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^4}}-\sqrt{2+x^5+x^6}}{x^4} = $

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