मान लीजिए f:left[-frac{1}{2}, 2right] rightar | vedclass

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Question

(B, C) फलन $f(x) = [x^2 - 3]$ वहाँ असतत है जहाँ $x^2 - 3$ एक पूर्णांक है।अंतराल $[-\frac{1}{2}, 2]$ में,$x^2$ का मान $0$ से $4$ तक है,इसलिए $x^2 - 3$

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$A, D$

Vedclass · Answer

(B, C) फलन $f(x) = [x^2 - 3]$ वहाँ असतत है जहाँ $x^2 - 3$ एक पूर्णांक है।अंतराल $[-\frac{1}{2}, 2]$ में,$x^2$ का मान $0$ से $4$ तक है,इसलिए $x^2 - 3$ का मान $-3$ से $1$ तक है।$x^2 - 3$ के मान पूर्णांक तब होते हैं जब $x^2 - 3 \in \{-3, -2, -1, 0, 1\}$,जिसका अर्थ है $x^2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$.चूंकि $x \in [-\frac{1}{2}, 2]$,$f(x)$ के लिए असतत बिंदु $x = 0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$ हैं। इस प्रकार,$f$,$[-\frac{1}{2}, 2]$ में $4$ बिंदुओं पर असतत है। विकल्प $B$ सही है।अब $g(x) = (|x| + |4x - 7|)f(x)$ पर विचार करें।$f(x)$,$x \in \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2\}$ पर असतत है।$|x|$,$x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।$|4x-7|$,$x=7/4 = 1.75$ पर अवकलनीय नहीं है।$x=0$ पर,$f(x) = [-3] = -3 
eq 0$,इसलिए $g(x)$ अवकलनीय नहीं है।$x=1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ पर,$f(x)$ असतत है,इसलिए $g(x)$ अवकलनीय नहीं है।$x=7/4$ पर,$f(x) = [(7/4)^2 - 3] = [49/16 - 3] = [3.0625 - 3] = [0.0625] = 0$. चूंकि $f(7/4) = 0$,गुणनफल $g(x) = (|x| + |4x-7|)f(x)$,$x=7/4$ पर अवकलनीय हो जाता है क्योंकि $f$ की असततता $0$ से गुणा हो जाती है।इस प्रकार,$g(x)$,$x \in \{0, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ पर अवकलनीय नहीं है,जो कि $4$ बिंदु हैं। विकल्प $C$ सही है।

List-$I$	List-$II$
$A$. यदि $y = \|x\| + \|x - 2\|$ है, तो $x = 2$ पर, $\frac{dy}{dx} =$	$I$. $2$
$B$. यदि $f(x) = \|\cos 2x\|$ है, तो $f'(\frac{\pi}{4} +) =$	$II$. $0$
$C$. यदि $f(x) = \sin(\pi[x])$ है, जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है, तो $f'(1-) =$	$III$. $-2$
$D$. यदि $f(x) = \log\|x - 1\|$, $x \neq 1$ है, तो $f'(\frac{1}{2}) =$	$IV$. अस्तित्व में नहीं है

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