मान लीजिए z_1 और z_2 दो भिन्न सम्मिश्र संख्या | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $z = (1-t)z_1 + tz_2$,जहाँ $0 < t < 1$ है। यह दर्शाता है कि $z$,$z_1$ और $z_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित है।$1$. चूंकि $z$,रेखाख

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$(A), (C), (D)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $z = (1-t)z_1 + tz_2$,जहाँ $0 $1$. चूंकि $z$,रेखाखंड $AB$ पर स्थित है,इसलिए दूरियों का योग $|z-z_1| + |z-z_2|$ कुल दूरी $|z_1-z_2|$ के बराबर है। अतः,$(A)$ सत्य है।$2$. सदिश $z-z_1$,$z_2-z_1$ की ही दिशा में है क्योंकि $z-z_1 = t(z_2-z_1)$ और $t > 0$ है। इसलिए,$\operatorname{Arg}(z-z_1) = \operatorname{Arg}(z_2-z_1)$। अतः,$(D)$ सत्य है।$3$. शर्त $\frac{z-z_1}{z_2-z_1} = t$ (जहाँ $t$ वास्तविक है) यह दर्शाती है कि अनुपात पूरी तरह से वास्तविक है। यह $\frac{z-z_1}{z_2-z_1} = \frac{\bar{z}-\bar{z}_1}{\bar{z}_2-\bar{z}_1}$ के समतुल्य है। वज्र गुणन करने पर सारणिक रूप $\left|\begin{array}{cc} z-z_1 & \bar{z}-\bar{z}_1 \ z_2-z_1 & \bar{z}_2-\bar{z}_1 \end{array}ight| = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$(C)$ सत्य है।$4$. $\operatorname{Arg}(z-z_1)$ और $\operatorname{Arg}(z-z_2)$ सदिशों $P-A$ और $P-B$ के कोणों को दर्शाते हैं। चूंकि $P$,$A$ और $B$ के बीच में है,इसलिए ये सदिश विपरीत दिशाओं में हैं,अतः $\operatorname{Arg}(z-z_1) 
eq \operatorname{Arg}(z-z_2)$। अतः,$(B)$ असत्य है।इसलिए,सही विकल्प $(A), (C), (D)$ हैं।

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