मान लीजिए f : left(-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}r | vedclass

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Question

(A, C) चरण $1$: विषम/सम फलन की जाँच करें।$f(-x) = (\log(\sec(-x) + 	an(-x)))^3 = (\log(\sec x - 	an x))^3$.चूंकि $\sec x - 	an x = \frac{1}{\sec x

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$f(x)$ एक एकैकी फलन नहीं है

Vedclass · Answer

(A, C) चरण $1$: विषम/सम फलन की जाँच करें।$f(-x) = (\log(\sec(-x) + 	an(-x)))^3 = (\log(\sec x - 	an x))^3$.चूंकि $\sec x - 	an x = \frac{1}{\sec x + 	an x}$,इसलिए $\log(\sec x - 	an x) = \log((\sec x + 	an x)^{-1}) = -\log(\sec x + 	an x)$.अतः,$f(-x) = (-\log(\sec x + 	an x))^3 = -(\log(\sec x + 	an x))^3 = -f(x)$.इसलिए,$f(x)$ एक विषम फलन है।चरण $2$: एकैकी फलन की जाँच करें।$f'(x) = 3(\log(\sec x + 	an x))^2 \cdot \frac{1}{\sec x + 	an x} \cdot (\sec x 	an x + \sec^2 x) = 3(\log(\sec x + 	an x))^2 \cdot \sec x$.चूंकि $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}ight)$ के लिए $\sec x > 0$ है और $(\log(\sec x + 	an x))^2 \ge 0$ है,इसलिए $f'(x) \ge 0$ है। फलन निरंतर वर्धमान है,इसलिए यह एक एकैकी फलन है।चरण $3$: आच्छादक फलन की जाँच करें।जैसे $x ightarrow \frac{\pi}{2}^-$,$\sec x + 	an x ightarrow \infty$,इसलिए $f(x) ightarrow \infty$.जैसे $x ightarrow -\frac{\pi}{2}^+$,$\sec x + 	an x ightarrow 0^+$,इसलिए $\log(\sec x + 	an x) ightarrow -\infty$,और $f(x) ightarrow -\infty$.चूंकि परिसर $(-\infty, \infty) = \mathbb{R}$ है,इसलिए फलन आच्छादक है।निष्कर्ष: $f(x)$ एक विषम फलन और आच्छादक फलन है।

मान लीजिए $f : \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}$,$f(x) = (\log(\sec x + \tan x))^3$ द्वारा परिभाषित है। तो:

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