मान लीजिए triangle PQR एक त्रिभुज है। मान लीज | vedclass

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Question

(C) $	riangle PQR$ में,हमारे पास $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{b} + \vec{c} = -\vec{a}$।दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,$|\

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$(A, C, D)$

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(C) $	riangle PQR$ में,हमारे पास $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{b} + \vec{c} = -\vec{a}$।दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर,$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = |-\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2$।$|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = |\vec{a}|^2$।दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(4\sqrt{3})^2 + |\vec{c}|^2 + 2(24) = 12^2$।$48 + |\vec{c}|^2 + 48 = 144 \Rightarrow |\vec{c}|^2 = 48 \Rightarrow |\vec{c}| = 4\sqrt{3}$।अब,विकल्प $(A)$ की जाँच करें: $\frac{|\vec{c}|^2}{2} - |\vec{a}| = \frac{48}{2} - 12 = 24 - 12 = 12$। अतः,$(A)$ सत्य है।विकल्प $(B)$ की जाँच करें: $\frac{|\vec{c}|^2}{2} + |\vec{a}| = 24 + 12 = 36 
eq 30$। अतः,$(B)$ असत्य है।विकल्प $(D)$ के लिए,चूंकि $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$,हमारे पास $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2$ है।$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$।$144 + 48 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 48 \Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -144 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = -72$। अतः,$(D)$ सत्य है।विकल्प $(C)$ के लिए,चूंकि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 0$,हमारे पास $\vec{a} 	imes \vec{b} = \vec{b} 	imes \vec{c} = \vec{c} 	imes \vec{a}$ है।$|\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{c} 	imes \vec{a}| = |\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{a} 	imes \vec{b}| = 2|\vec{a} 	imes \vec{b}|$।$|\vec{a} 	imes \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin(	heta)$,जहाँ $	heta$ $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(	heta) = -72 \Rightarrow 12(4\sqrt{3}) \cos(	heta) = -72 \Rightarrow 48\sqrt{3} \cos(	heta) = -72 \Rightarrow \cos(	heta) = -\frac{72}{48\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।इसलिए,$\sin(	heta) = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{1}{2}$।$|\vec{a} 	imes \vec{b}| = 12(4\sqrt{3})(\frac{1}{2}) = 24\sqrt{3}$।$2|\vec{a} 	imes \vec{b}| = 2(24\sqrt{3}) = 48\sqrt{3}$। अतः,$(C)$ सत्य है।इसलिए,$(A, C, D)$ सत्य हैं।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$	$1. \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|\cos(\mathbf{a}, \mathbf{b})$
$(B)$ $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b}$	$2. (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$
$(C)$ $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$	$3. \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
$(D)$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$	$4. \|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|$
	$5. (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$

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