मान लीजिए $f :(0, \infty) \rightarrow R$ एक फलन है जो अपने प्रांत के सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है और शर्त $x^2 f^{\prime}(x)=2 x f(x)+3$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(1)=4$ है। तो $2 f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$A$. $\frac{dy}{dx} + y = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating factor) $e^x$ है।
$R$. $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ का समाकलन गुणक $e^{\int P(x) dx}$ है।
तो, निम्नलिखित में से सही कथन है:

यदि $\frac{dx}{dy} = \frac{1+x-y^2}{y}$ और $x(1) = 1$ है,तो $5x(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{\sqrt{2}y}{2\cos^4 x - \cos 2x} = x e^{\tan^{-1}(\sqrt{2} \cot 2x)}$,$0 < x < \pi/2$ का हल है,जहाँ $y(\pi/4) = \pi^2/32$ है। यदि $y(\pi/3) = \frac{\pi^2}{18} e^{-\tan^{-1}(\alpha)}$ है,तो $3\alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f : (0, \infty) \to (2, 20)$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $\lim_{x \to \infty} (f(x) + f'(x) + f''(x)) = \lim_{x \to \infty} g(x)$,जहाँ $\lim_{x \to \infty} g(x)$ का अस्तित्व है और यह $5$ के बराबर है,तो $\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x))$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}(1+x) - xy = 1-x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।