मान लीजिए f: R rightarrow R एक दो बार अवकलनीय | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $(\sin x \cos y)(f(2x+2y) - f(2x-2y)) = (\cos x \sin y)(f(2x+2y) + f(2x-2y))$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f(2x+2y)(\sin x \c

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$-3$

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(B) दिया गया समीकरण: $(\sin x \cos y)(f(2x+2y) - f(2x-2y)) = (\cos x \sin y)(f(2x+2y) + f(2x-2y))$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f(2x+2y)(\sin x \cos y - \cos x \sin y) = f(2x-2y)(\sin x \cos y + \cos x \sin y)$.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ और $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर: $f(2x+2y)\sin(x-y) = f(2x-2y)\sin(x+y)$.इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{f(2x+2y)}{\sin(x+y)} = \frac{f(2x-2y)}{\sin(x-y)}$.मान लीजिए $2x+2y = m$ और $2x-2y = n$. तब $x+y = m/2$ और $x-y = n/2$.समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\frac{f(m)}{\sin(m/2)} = \frac{f(n)}{\sin(n/2)} = K$ (एक स्थिरांक).अतः,$f(x) = K \sin(x/2)$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = \frac{K}{2} \cos(x/2)$.दिया गया है कि $f'(0) = 1/2$,इसलिए $\frac{K}{2} \cos(0) = 1/2$,जिसका अर्थ है $K = 1$.अतः,$f(x) = \sin(x/2)$.अब $f'(x) = \frac{1}{2} \cos(x/2)$ और $f''(x) = -\frac{1}{4} \sin(x/2)$.हमें $24f''\left(\frac{5\pi}{3}ight) = 24 \left(-\frac{1}{4} \sin\left(\frac{5\pi}{6}ight)ight)$ ज्ञात करना है।चूंकि $\sin(5\pi/6) = 1/2$,इसलिए मान $24 \left(-\frac{1}{4} 	imes \frac{1}{2}ight) = 24 \left(-\frac{1}{8}ight) = -3$ है।

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