मान लीजिए $z$ और $w$ दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $|z| = |w|$ और $arg(z) + arg(w) = \pi$ है। तो $z$ किसके बराबर है?

मान लीजिए कि सम्मिश्र संख्याएँ $\alpha$ और $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ क्रमशः वृत्तों $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ और $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=4r^2$ पर स्थित हैं। यदि $z_0=x_0+iy_0$ समीकरण $2|z_0|^2=r^2+2$ को संतुष्ट करता है,तो $|\alpha|=$

यदि $|z-2+i| \leq 2$ है,तो $|z|$ के अधिकतम और न्यूनतम मान के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए $(i=\sqrt{-1})$।

$A(z_1=2+2i)$,$B(z_2)$,और $C(z_3)$ आर्गंड समतल पर तीन बिंदु हैं जो $|z_k-2i|=2$ $(k=1, 2, 3)$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $\triangle ABC$ अधिकतम क्षेत्रफल घेरता है,तो $z_2$ और $z_3$ के काल्पनिक भागों का योग क्या है?

किसी भी सम्मिश्र संख्या $w = c + id$ के लिए,मान लीजिए $\arg ( w ) \in(-\pi, \pi]$,जहाँ $i =\sqrt{-1}$ है। मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ हैं कि सभी सम्मिश्र संख्याओं $z=x+iy$ के लिए जो $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ को संतुष्ट करती हैं,क्रमित युग्म $( x , y )$ वृत्त $x^2+y^2+5x-3y+4=0$ पर स्थित है। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है (हैं)?
$(A) \alpha=-1$ $(B) \alpha \beta=4$ $(C) \alpha \beta=-4$ $(D) \beta=4$

$\text{Arg}(z + i) - \text{Arg}(z - i) = \frac{2\pi}{3}$ द्वारा दिए गए $z$ के बिंदु-पथ और काल्पनिक अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: